РОБОТ-ПЫЛЕСОС ASHIMO FLATLOGIC 5517 отзывы - развод или правда? - отзыв

Ну не знаю, у меня все гладенько прошло!

Началось все с того, что моя тетя нашла сайт в интернете, в общем-то я задолбался наводить порядок бесконечно. Времени нет и желания тоже.
Вопрос в деньгах вообще не стоял, решил затестить Ашимо. Ну что я могу сказать, робот действительно работает. Собирает все хорошо, симпатичный очень, мне понравился - коту нет :)

В проводах не путается, даже каким-то образом не наматывает волосы на щетки. Сам робот легко чистится без мешка для пыли и грязи. Просто взял выкинул, сполоснул и все ок.

На станцию зарядки приезжает сам, в комплекте есть такая штука, типо стены, которая не дает роботу ездить где вам не надо.
Заряжается достаточно быстро, в общем могу посоветовать, нормальный агрегат

Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?ao

Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?ao

Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei

Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaeaiey ii?anoaa M0 = {n1 n2
· · · jklklp;l;wqqaw
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
M0
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Aiea?ai ?aainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi ii aa?ii aey
l ? 1. Ni?aaeeau neaao?uea au?a?aiey aey ii?anoa Ml?1 e Ml
Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30
Ion?aa iieo?aai ?aainoai aey ii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aai-
noai aey ?yaia
X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
Nl
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sl
, sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ?
X
Ml
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
.
Neaaiaaoaeuii,
?e(s1, s2, . . . , sm) = X
l?1
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)l?1 X
Ml?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
=
X
l
k=1
(?1)k?1
· ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm)
+ (?1)lX
Ml
1
n
s1
1
· · · n wq
sl
l
,
?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aainoai (2.10) ?aaiineeuii
ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae
X
Mm?1
1
n
s1
1
· · · n
sl
l
= ?(sm, sm?1, . . . , s1).
Oai?aia aieacaia.
Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aainoaa (2.7). Iii ao-
aao ai iiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaa ?aainoaa (2.6) a [2].
Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiaaoaeuiuo eaii.
Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaeei ?enea rj = Pj
i=1 si e iiai?eaiu
Q0 = 1,
Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk
,
Qk = Qk(1).
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31
Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aainoai
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
= ?e(s1, s2, . . . , sk). q
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk(z)
=
Z
[0,1]rk
dx1dx2 · · · dxm
Qk
j=1(1 ? zx1 . . . xrj
)
.
A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiie 2.5.
?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia
I? = 1, Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
, ? 0.
Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aainoai Is1,s2,..,sk = Is1,s2,..,sk
(0) = ?e(s1,
s2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7.
Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaa auiieiyaony ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?q2, 2, {1}sk?2, 1).
Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aainoai
?
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0 =
Z
[0,1]rk
?
ln(1 ? Qk)
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk+1
dx0dx1 · · · dxrk
1 ? x0Qk
Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aao ?aaiia?iay noi-
aeiinou eioaa?aea
Z
[0,1]rk
ln(1 ? Qk)(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
.
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32
i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa-
aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk
) a aeaa (aiaaeyy e au?eoay iaeioi?ua
neaaiua)
1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1
? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1
. . . q
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1
? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk
e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii.
Aaai
??(s1, s2, . . . , sl) = X
n1n2··nl1
1
(n1 + ?)
s1 · · ·(nl + ?)
sl
,
aa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiia?ii noiaeony
i?e ? 0.
Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aainoai
Is1,s2,..,sk
(?) = X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11)
Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai
Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
)).
Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk
). ?acei?ei a
iiauioaa?aeuii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei-
oaa?e?iaaiey 0 Qk 1)
Is1,s2,..,sk
(?) = Z
[0,1]rk
(1 ? Qk)
?
Qk
dx1 · · · dxrk
=
Z
[0,1]rk
X
?
n=0
(1 ? Qk)
n+?
dx1 · · · dxrk
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33
=
X
? qq
n=0
Z
[0,1]rk
(x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q
0
))n+?
dx1 · · · dxrk
.
Oae eae (1?Qk)
n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a-
ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaa V,
§ 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea
aaoo eioaa?aeia (Eaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou
a aeaa ianianoaaiiai eioaa?aea
X
?
n=0
an =
Z ?
0
f(t) dt,
aa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2,
. . . , xs1
.
Is1,s2,..,sk
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Z
[0,1]rk?s1
1 ? (1 ? Q0
)
n+?
Q0
dxs1+1 · · · dxrk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
Is2,s3,..,sk
(n + ?). (2.12)
Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey
k = 1
Is1
(?) = X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
= ??(s1).
I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai
aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,..,sk
(n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii
i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai
Is1,s2,..,sk
(?) = ??(s1)Is2,s3,..,sk
?
X
?
n=1
1
(n + ?)
s1
X
k?1
j=1
(?1)j?1
?n+?(sj+1, sj
, . . . , s2)Isj+2,sj+3,..,sk
= ??(s1)Is2,s3,..,sk ?
X
k?1
j=1
(?1)j?1
??(sj+1, sj
, . . . , s1)Isj+2,sj+3,..,sk
=
X
k
j=1
(?1)j?1
??(sj
, sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,..,sk
,
2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34
?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaao eaiio.
Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aainoai
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1)
=
X
k
j=1
(?1)j?1X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aainoai (2.11) e iianoaaei
? = 0
d
d? [Is1,s2,..,sk
(?)]
?=0
=
X
k
j=1
(?1)j?1
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk).
Ii neaanoae? 2.4 eaay ?anou ?aaia
??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1),
a ec ii?aaeaiey ??(sj
, sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0
neaaoao, ?oi
d
d? [??(sj
, sj?1, . . . , s1)]
?=0 = ?
X
j
l=1
sl?(sj
, sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1).
Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu.
Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e
k = 2,
?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1)
= s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1).
A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaony iin?eoaou
i?aao? ?anou aey e?auo k.
Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aainoai
?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1).
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35
Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee
f?(x) = X
?
k=0
(?1)k
??({s}k)x
k =
Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s

e g(x) = P?
k=0 ?e({s}k)x
k
. Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi
f?(x)g(x) = 1 +X
?
k=1
(I{s}k ? I{s}k
(?))x
k
. (2.13)
I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa
g(x) = 1f0(x) = Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
e iu, n iiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5.
I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu-
coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei
X
?
k=1
?e({2, {1}s?2}k, 1)x
k = g(x)
d
d? [f?(x)]?=0
=
Y
?
j=1

1 ?
x
j
s
?1
d
d? Y
?
j=1

1 ?
x
(j + ?)
s
#
?=0
=
X
?
j=1
1
1 ?
x
j
s
sx
j
s+1 =
X
?
k=1
s?(sk + 1)x
k
.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-
cia?aiee
E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a-
coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a-
ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa.
N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiaioaie auaaeei neaao?-
uea ii?anoaa
B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36
Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu.
Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa
eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s),
~s ? Bw( ~s0)
.
Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16.
Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec
aeiioacu 1 aaeinoaaii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou
eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana
w ?aaia dw, aa ?enea dw ii?aaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae
X
?
w=0
dwx
w =
1
1 ? w2 ? w3
.
Oae eae ?({2}k) = ?
2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e
aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia
Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa
?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaeaiinoe iiea iao.
Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa-
eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie
?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai-
aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?,
anee ?(2, 3) ? Q ee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e
?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0)
?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei-
iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy
au iaii e??aoeiiaeuiia.
Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe
e?aoiuo acaoa-cia?aiee.
Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi
, i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . ,
yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi
, ?oi
1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37
Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi
,
i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1,
B1 e C1i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe?, ?oi
A1 + B1x +
X
k?1
i=1
C1ixyi = 0.
Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi
, i =
1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0,
oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi
C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i
, ia ?aaiua iaiia?aiaii ioe? oaeiau,
?oi
A2 + B2x +
X
16i6k,i6=p
C2ixyi = 0.
Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oii?ei ia?aia ?aainoai ia A2 e au?oai aoi?ia
?aainoai, oii?aiia ia A1. Iieo?ei (iieaay C1k = 0, C2p = 0)
(B1A2 ? B2A1)x +
X
k
i=1
(C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0.
Iiaaeei yoi ?aainoai ia x. Oiaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi
, i?e-
?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie
iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi
. Eaiia aieacaia.
Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l
?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k).
Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia
Neaanoaea 2.6 Anee Mw - ii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana
e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a-
?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana,
i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi
, ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene-
iu iaa Q.
2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38
Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi
dimQ(Q ?
M
~s?B3?··?B2l+5
Q?(~s)) l + 2.
Oae?a, i?aaeaii,
dimQ(Q ?
M
~s?B2?··?B2l
Q?(~s)) l + 1.
Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia
~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)},
?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q.
Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 =
{(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}.
Aeaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eei