Теорема виета формула

Почему-то именно замечательной теореме Виета досталось больше всего от школьников, зазубрив наизусть как вычисляются корни квадратного уравнения, они совершенно не хотят пользоваться простейшей теоремой, которая все-таки позволяет "поиграть" с числами, со знаками, по мне так это лучшая игра для ума, чем брать формулу и вычислять сначала дискриминант, затем отдельно просчитывать каждый из его корней. По мне так это примитивно и скучно, другое дело - теорема Виета.

Заметим, что сам Виет - был всего лишь юристом, который увлекался математикой и астрономией.

Расскажу немного о теореме Виета и о некоторых специфических приемах, которые мне облегчили жизнь не один раз, пока я сидела на школьной скамье.

в приведенном квадратном уравнении x2+px+q=0 сумма корней будет равна коэффициенту p (то есть второму коэффициенту), взятому с противоположным знаком, а произведение корней будет равно коэффициенту q (то есть свободному члену), то есть x1+x2=-p x1*x2=q.

Этих знаний должно быть достаточно для того чтобы решить приведенное квадратное уравнение (это квадратное уравнение, у которого коэффициент перед x2 равен 1), а дальше включается мозг, так как корни не вычисляют, а подбирают, зная на какие множители раскладывается число.

1. x2-5x+6=0, то есть сумма корней этого замечательного уравнения должна быть равна 5, а произведение 6.

Заметим, что 6=2*3, а 5=2+3, значит х1=2, х2=3

2. х2+15х+56=0, то есть сумма корней

этого замечательного уравнения

должна быть равна -15, а произведение 56. Заметим, что 56=7*8, но 7+8=15, а надо -15, тогда ставим противоположные знаки 56=(-7)*(-8), (-7)+(-8)=-15 значит х1=-7, х2=-8

3. х2+х-12=0, то есть сумма корней

этого замечательного уравнения

должна быть равна -1, а произведение -12. Заметим, что -12=-3*4, значит сумма должна быть равна -1, следовательно, большее число должно быть со знаком "минус", следовательно х1=-4, х2=3

4. -х2+8х-12=0, заметим, что уравнение не является приведенным, так как коэффициент перед х2 не равен единицы, значит сначала надо сделать уравнение приведенным: х2-8х+12=0, а затем по теореме Виета вычисляем его корни х1=2, х2=6

данную теорему неоднократно используют, когда необходимо решить систему уравнений, когда сумма двух переменных равна одному числу, а произведение - другому, опять же подбор спасает от сложных математических расчетов и подстановок, так как все равно все сведется к квадратному уравнению.

То есть получается, что приходится подбирать, заставляя немного напрягать память и мозг, но я расскажу еще и о следствии теорема Виета, которые редко рассказывают в школе, может быть только на факультативе.

Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 каким-то чудесным образом выполняется условие a+b+c=0, то корень уравнения будет равен 1, а второй корень будет равен a/c

И второе свойство:

Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 совершенно случайно заметили, что выполняется условие a+c=b, то корень уравнения будет равен -1, а второй корень будет равен -a/c

1. решить уравнение 2015х2-2016х+1=0, заметим, что 2015-2016+1=0, значит первый корень х1=1, а другой х2=1/2015. Заметили как быстро вычислили корень, а теперь представьте сколько бы пришлось вычислять дискриминант и возводить 2016 в квадрат.

2. решить уравнение 33х2+64х+31=0, заметим, что 33+31=64, значит первый корень х1=-1, а другой х2=-31/33. И опять же хвала Виету разрешилось уравнение быстро и аккуратно, а всего-то необходимо знать два малюсеньких правила.

Существует и теорема, обратная теореме Виета, то есть если есть два числа сумма которых равна p, а произведение q, то они внезапно являются корнями квадратного уравнения x2-px+q=0

Видео обзор

Теорема Виета

Теорема Виета.

ТЕОРЕМА ВИЕТА

Теорема Виета

8 класс, 26 урок, Теорема Виета